Väitös matematiikan alalta, DI Casimir Lindfors

2018-04-26 12:00:00 2018-04-26 23:59:59 Europe/Helsinki Väitös matematiikan alalta, DI Casimir Lindfors Säännöllisyysteoriaa lämpöyhtälön yleistyksille http://sci.aalto.fi/fi/midcom-permalink-1e82dac59059fca2dac11e8abcb5fbd2a8b34473447 Otakaari 1, 02150, Espoo

Säännöllisyysteoriaa lämpöyhtälön yleistyksille

26.04.2018 / 12:00
Aalto-yliopisto, sali D, Otakaari 1, 02150, Espoo, FI

Diplomi-insinööri Casimir Lindfors väittelee torstaina 26.4.2018 klo 12 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulussa. Väitöskirjassa "Regularity for nonlinear parabolic partial differential equations" tutkitaan epälineaarisia parabolisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, erityisesti niiden ratkaisujen säännöllisyyttä, kuten rajoittuneisuutta ja jatkuvuutta. Pääpaino on parabolisen p-Laplace-yhtälön yleistävillä Orlicz-tyyppiset kasvuehdot toteuttavilla yhtälöillä, joiden lisäksi tarkastellaan faasitransitio-ongelmia.

Parabolinen p-Laplace-yhtälö on niin kutsutun lämpöyhtälön epälineaarinen yleistys. Lämpöyhtälö kuvaa lämpötilan kehitystä ajassa annetussa alueessa. Myös muita diffuusioilmiöitä voidaan tarkastella lämpöyhtälön avulla. Yleistämällä yhtälöä voidaan monia fysikaalisia ilmiöitä mallintaa tarkemmin ja laajemmin.

Väitöskirjassa jatketaan yleistämistä ottamalla polynomisten kasvuehtojen sijaan yleisemmät Orlicz-tyyppiset kasvuehdot. Yhtälön ratkaisuille todistetaan useita säännöllisyystuloksia, tärkeimpinä ratkaisun olemassaolo, jatkuvuus reunalle asti sekä ratkaisun ja sen gradientin lokaali rajoittuneisuus. Lisäksi todistetaan yhtälöön liittyvän esteongelman ratkaisun olemassaolo ja jatkuvuus. Yhtälön kovin yleinen luonne aiheuttaa monin paikoin hankaluuksia, joista yli päästäkseen on ollut tarpeen keksiä uusia ideoita ja menetelmiä, vaikkakin suurin osa todistuksista on pohjimmiltaan samankaltaisia kuin vastaavat todistukset p-Laplace-yhtälölle.

Lisäksi väitöskirjassa todistetaan ratkaisun olemassaolo sekä jatkuvuus reunalle asti niin kutsutulle degeneroituneelle kaksifaasiselle Stefan-ongelmalle, jota voidaan niin ikään pitää p-Laplace-yhtälön yleistyksenä. Stefan-ongelma kuvaa lämmön johtumista systeemissä, jossa väliaine voi olla samaan aikaan kahdessa eri faasissa, esimerkiksi vesilasi, jossa on jääpaloja. Tällaisessa systeemissä on otettava huomioon se, että osa lämmöstä kuluu faasitransitioon (kuten jään sulaminen), mikä aiheuttaa hypyn transitiopisteessä.

Sekä lämpöyhtälöä että p-Laplace-yhtälöä on tutkittu paljon ja ne tunnetaan melko hyvin. Yleisemmille yhtälöille tutkimus on kuitenkin vielä melko alkuvaiheessa. Väitöskirjassa tehty tutkimus avaakin useita potentiaalisia jatkotutkimuskohteita.

Väitöstiedote (pdf)

Vastaväittäjä: professori Peter Lindqvist, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet, Norja

Kustos: professori Juha Kinnunen, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Elektroninen väitöskirja: http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-7928-8